Geometria básica em figuras

Geometria

Uma ilustração curta para cada ideia da nota de geometria básica: paralelas, ângulos notáveis, semelhança de triângulos, áreas, circunferências e, no espaço, planos perpendiculares, cones planificados e a relação de Euler.

Data de Publicação

15 de outubro de 2026

Cada capítulo deste vídeo ilustra uma ideia da nota Geometria básica: uma visão abrangente, que segue o Manual de iniciativas em Geometria, escrito à mão por Marcelo Dias Carvalho. A nota tem uma figura interativa para cada ideia; o vídeo mostra as mesmas ideias em movimento, uma depois da outra.

Os 38 capítulos (clique em um tempo para ir até ele)

Tempo	Capítulo
	*Geometria plana*
0:07	1. Retas paralelas formam ângulos iguais
0:19	2. O ângulo reto
0:32	3. Ângulos notáveis: \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\)
0:44	4. Ângulos suplementares
0:53	5. De \(\operatorname{tg}\alpha=\frac12\) a \(\operatorname{sen}\alpha\) e \(\cos\alpha\)
1:03	6. O triângulo isósceles
1:14	7. Prolongando segmentos
1:25	8. Semelhança de triângulos
1:35	9. O ângulo externo de um triângulo
2:02	10. Traçando paralelas
2:16	11. Traçando perpendiculares
2:23	12. Uma paralela a um dos lados
2:32	13. Um ponto médio gosta de outro ponto médio
2:41	14. Quatro fórmulas para memorizar
2:51	15. Relações métricas no triângulo retângulo
2:59	16. As leis dos cossenos e dos senos
3:09	17. Onde termina a lei dos senos: \(2R\)
3:18	18. Proporções: o teorema da bissetriz interna
3:27	19. Cinco maneiras de obter a área de um triângulo
3:44	20. Trapézios
3:54	21. Paralelogramos
4:02	22. Losangos
4:09	23. Quadrados
4:16	24. Retângulos
4:24	25. Polígonos
4:39	26. Circunferências
4:53	27. O raio da circunferência inscrita: \(r=S/p\)
5:02	28. Quadriláteros inscritíveis
5:12	29. Áreas de círculos: pense em diferenças
	*Geometria espacial*
5:26	30. Reta perpendicular a um plano
5:37	31. Prismas: duas bases paralelas e congruentes
5:48	32. Ângulos retos nos sólidos
5:57	33. Qualquer face de um tetraedro pode ser a base
6:09	34. O ângulo entre dois planos
6:20	35. Planificando cilindros e cones
6:38	36. Diferenças de volumes
6:49	37. A esfera e suas seções
7:00	38. Poliedros convexos: \(V-A+F=2\)

Feito com o Manim Community v0.22. Os trechos abaixo são as partes principais do código, cada um seguido de uma explicação curta.

Como o código funciona

1. Uma única função marca todos os ângulos

def amark(O, A, B, r=0.45, color=CA, label=None, fs=30, fill=0.35, lbuff=0.22):
    """The (non-reflex) angle AOB: arc, filled sector and an optional label."""
    O, A, B = np.array(O, dtype=float), np.array(A, dtype=float), np.array(B, dtype=float)
    a1, a2 = ang(A - O), ang(B - O)
1    d = (a2 - a1 + PI) % (2 * PI) - PI
    arc = Arc(radius=r, start_angle=a1, angle=d, arc_center=O, color=color, stroke_width=3)
    pts = [arc.point_from_proportion(t) for t in np.linspace(0, 1, 24)]
2    sec = Polygon(O, *pts, stroke_width=0, fill_color=color, fill_opacity=fill)

1: A diferença entre as duas direções, trazida para \((-\pi,\pi]\): o arco sempre vai pelo caminho mais curto, qualquer que seja a ordem em que os pontos são dados.
2: O setor preenchido é um polígono que passa pelo vértice e por pontos do arco; assim, ele acompanha o arco exatamente.

2. Marcas que acompanham uma figura em movimento

1        a = ValueTracker(62 * DEGREES)

        def pts():
            d = np.array([math.cos(a.get_value()), math.sin(a.get_value()), 0])
            Pp = np.array([1.2 / math.tan(a.get_value()), 1.2, 0])
            Q = np.array([-1.2 / math.tan(a.get_value()), -1.2, 0])
            return d, Pp, Q

2        marks = always_redraw(lambda: VGroup(
            amark(pts()[1], pts()[1] + LEFT, pts()[2], 0.6, CA, r"\alpha"),
            amark(pts()[2], pts()[2] + RIGHT, pts()[1], 0.6, CB, r"\theta"),
            ...))
3        self.play(a.animate.set_value(118 * DEGREES), run_time=3)

1: A inclinação da transversal é um número que pode ser animado.
2: Os dois ângulos alternos são redesenhados a cada quadro a partir da inclinação atual.
3: Girar a transversal mantém \(\alpha=\theta\) na tela, que é a ideia do capítulo.

3. Cada capítulo anota quando começa

    def chapter(self, key, num, title):
1        self.chapters[key] = round(self.renderer.time, 2)
        t = Tex(rf"\textbf{{{num}.}}\ \ {title}", font_size=40).to_edge(UP, buff=0.3)
        ...
2        self.add_fixed_in_frame_mobjects(h)

1: O instante do vídeo em que o capítulo começa. No fim da renderização, esses tempos são salvos em basic_geometry_chapters.json; os links da nota os usam para abrir o vídeo no capítulo certo.
2: Títulos e legendas ficam fixos na tela, também nos capítulos de geometria espacial, em que a câmera gira em torno dos sólidos.

4. Planificando um cilindro

        def cyl(u, v):
1            l = min(lam.get_value(), 0.999)
2            rho = r / (1 - l)
3            s = (u - 0.5) * 2 * PI * r
            return np.array([-2.6 + r - rho + rho * math.cos(s / rho), rho * math.sin(s / rho) - 1.5, h * v - 1.0])

1: \(\lambda\in[0,1]\) mede quanto da superfície já foi planificado.
2: No meio do caminho, a superfície é um pedaço de um cilindro mais largo, de raio \(\rho=r/(1-\lambda)\), tangente ao original ao longo de uma geratriz; quando \(\lambda\to1\), o raio vai para o infinito e o pedaço fica plano.
3: \(s\) é o comprimento de arco na base, que a planificação preserva: no fim, a base vira um segmento de comprimento \(2\pi r\), e a superfície lateral, o retângulo \(2\pi r\times h\). O cone é planificado do mesmo modo, com cones de geratriz fixa \(g\) cujo raio da base cresce de \(r\) até \(g\).

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